エルカミノからの本気の年賀状問題　解答

みなさん、こんにちは。

先日のブログで出された本気の年賀状問題に挑戦してみましたか？
本日のブログではその解答・解説を発表します。
正解できた、できないにかかわらず、挑戦した方はぜひ一度解説を読んでみてください。

【解答】
必勝：B　　戦略：「操作」において奇数の約数を選び続ける

【解説】
奇数は奇数の約数しか持たないため、奇数に対する「操作」で得られる整数は必ず偶数になる。
すなわち、どのような整数から始めても、必ず偶数を経てゲームが終わる。
そこで、自分に偶数が回ってきたときを考える。
偶数は必ず2×2×…×2×(奇数N)という形に表すことができる。
このような偶数が回ってきたときに、約数として奇数N(またはその約数)を選べば、必ず相手に奇数を回すことができる(※)。

奇数を回された相手がどのような約数を選んだとしても自分に回ってくるのは偶数であるため、同様の手順により必ず相手に奇数を回すことができる。
これを繰り返せば最終的に素数の奇数が相手に回ることとなる。
(※)と同様の理由により、それまでに自分に2が回ってくることはないので、自分が勝つことができる。

2023は奇数であるため、AはBに偶数を回し、その後、Bは奇数をAに回し続けることができる。
よって、Bは自分の手番に奇数の約数を選び続けることで必ず勝つことができる。

(※)N=1のときは奇数の約数を選ぶことができないが、上記のBの必勝戦略において2の累乗がBに回ってくることはない。Aに回した奇数からその約数を引いても、必ず奇数の素因数が入るからである。

いかがでしたでしょうか。
簡単な性質からルールを見つけられると必勝法に繋がりましたね。
偶数、奇数に着目して解くことは、数の性質の問題ではよく見られます。
難しい問題でも意外なことから解法に繋がることがあるので、諦めずに考えることはとても大切ですね。

2月は御三家の入試分析のブログを掲載します。
それではまたお会いしましょう。