【解説】
Aに入るカードから順に考えます。
Aのカードで、中－小＝大－中の答えとしてありえる数は1、2、3、4の4つ。
（答えが5だとすると、中＝6となり大に当てはまるカードがなくなってしまいます。）
中－小＝1のとき、Aに入るカードは[1、2、3]の3枚
→残ったカードは4、5、6、7、8、9。
残りのカードも条件②に当てはまるように選ぶと
Bに入るカードが[4、5、6]、Cに入るカードが[7、8、9]の場合
Bに入るカードが[4、6、8]、Cに入るカードが[5、7、9]の場合
の2通りが見つかります。
同じように探していきましょう。
中－小＝２のとき、Aに入るカードは[1、3、5]の3枚
→残ったカードは2、4、6、7、8、9。
するとBに入るカードが[2、4、6]、Cに入るカードが[7、8、9]。
中－小＝３のとき、Aに入るカードは[1、4、7]の3枚
→残ったカードは2、3、5、6、8、9。
するとBに入るカードが[2、5、8]、Cに入るカードが[3、6、9]。
中－小＝4のとき、Aに入るカードは[1、5、9]の3枚
→残ったカードは2、3、4、6、7、8。
するとBに入るカードが[6、7、8]、Cに入るカードが[2、3、4]
以上の5通りが見つかります。

【解説】
1～21までの整数については、21×21＝441、21×21×21＝9261となり、あわせて7個以下の数字しか使わない。
また32以上の整数については、32×32＝1024、32×32×32＝32768となり、あわせて9個以上の数字を使う。
そのため、22～31までの整数を考えればよい。
25、26、30、31は2回かけ算と3回かけ算で一の位の数字が同じになる。
23、27は2回かけ算すると一の位の数字が9になる。29は3回かけ算すると一の位の数字が9になる。
残りの22、24、28を調べると22×22＝484、28×28×28＝21952で条件に合わない。
一方、24×24＝576、24×24×24＝13824 となり1～8までをちょうど1回ずつ使う。
よって答えは24のみ。

【解説】
Nを素因数分解したときに出てくる２の個数をa個、5の個数をb個、またaとbの差をkとする。
（条件よりa、bは0以上の整数）
aがbよりも大きいとき、2×5＝10なのでNは2をk個、10をb個かけ算した数ともみられる。
ここでNが5桁なので、２をk個かけ算した数は5桁以下。
２を16回かけ算すると65536なので、kに当てはまる数は1～16までの16通り。
このそれぞれのkの場合に対して適切なbを用意することで、それぞれ異なる5桁の整数を作ることができる。
よって、Nは16通り存在する。
aがbよりも小さい場合、Nは5をk個、10をa個かけ算した数ともみられる。
5を7回かけ算すると78125なので、上記と同じ考え方よりNは7通り存在する。
a=bのとき、Nは10をa個かけ算した数。5桁になる数は10000の1通り。
よって全部で16+7+1=24通りとわかる。